Родился в семье оперного певца Николая Николаевича Озерова и его жены Надежды Ивановны Озеровой (в девичестве Сахаровой). Отец часто водил Юрия в Большой театр и МХТ, давал домашние концерты, на которых собирались Алексей Новиков-Прибой, Антонина Нежданова, Отто Шмидт и другие выдающиеся люди.

В 1939 году Озеров окончил художественную школу и поступил в ГИТИС, но в том же году был призван в ряды Красной Армии. В 1940 году обучался в учебной роте связи.

В октябре 1941 года вступил в Великую Отечественную войну в звании командира взвода. Во время Битвы за Москву служил связистом в Московском военном округе. В 1942 году окончил ускоренный курс Военной академии имени М. В. Фрунзе. В составе 18-й армии был переброшен на Западный фронт, воевал на 1-м и 4-м Украинских, 2-м и 3-м Белорусских фронтах. Участвовал в Кёнигбсергской операции и после взятия крепости был оставлен в комендатуре Кёнигсберга. Закончил войну в звании майора.

Летом 1945 года демобилизовался и продолжил обучение на режиссёрском факультете ГИТИСа, затем перевёлся на театроведческий факультет, а в 1946 году подал документы во ВГИК[3]. Учился режиссуре в мастерской Игоря Савченко. В 1949 году проходил практику на «Мосфильме» у Григория Александрова. В 1951 году окончил институт.

Фильмы периода оттепели не принесли ему особой славы. Озеров, в отличие от сокурсников, не любил экспериментов, хотя позднее итальянские критики уверяли его, что именно драма «Сын» (1955) открыла для итальянского неореализма метод съёмки игрового кино как документального. Также выделялась советско-чехословацкая комедия «Большая дорога» (1962) о Ярославе Гашеке (он использовал опыт, полученный при работе с Александровым).

В историю Озеров вошёл как автор монументальных киноэпопей, посвящённых Великой Отечественной войне.

Первая из них — «Освобождение» (1970—1972) — состояла из пяти фильмов, съёмки которых растянулись на пять лет, в том числе из-за того, что их приходилось неоднократно переделывать из-за недовольства высокопоставленных прототипов[6]. Весь костяк съёмочной группы составили ветераны войны. Главным консультантом режиссёр хотел видеть Маршала Советского Союза Георгия Жукова, который в то время находился в опале. Министр кино отказался утвердить его кандидатуру. Тем не менее, Жуков передал режиссёру свои мемуары, которые легли в основу сценария. Он также предложил кандидатуру Михаила Ульянова на свою роль; с ролью Жукова актёр не расставался долгие годы, исполняя её и в фильмах других режиссёров.

За ней последовали «Солдаты свободы» (1977), «Битва за Москву» (1985) и «Сталинград» (1989). Уже в постсоветское время Озеров смонтировал из них телесериал «Трагедия века» (1993—1994), а также фильмы «Ангелы смерти» (с незначительными досъёмками) и «Великий полководец Георгий Жуков», целиком смонтированный из кадров киноэпопей и кинохроники с новыми комментариями Артёма Карапетяна.

С 1979 года Озеров преподавал во ВГИКе, руководил режиссёрской мастерской. На протяжении ряда лет был членом коллегии Госкино СССР и членом Национального Олимпийского комитета. Также являлся секретарём правления Союза кинематографистов СССР с 1971 по 1986 год, когда в числе других режиссёров был смещён с поста во время V съезда киниематографситов СССР.

Похоронен на Введенском кладбище рядом со своим братом Николаем Озеровым.