Roßbander ist der Sohn des ursprünglich aus Dresden stammenden Schauspielers Erik Roßbander, der seit über 20 Jahren Mitglied der Bremer Shakespeare Company ist. Seine Mutter Heike Neugebauer ist bei der Bremer Shakespeare Company als Bühnen- und Kostümbildnerin tätig. Er wuchs daher in Bremen auf. Er absolvierte von 2009 bis 2013 seine Schauspielausbildung an der Otto-Falckenberg-Schule in München. In der Spielzeit 2011/12 trat er als Gast an den Münchner Kammerspielen auf. Er spielte in E la nave va von Federico Fellini. 2012 spielte er an den Münchner Kammerspielen in Die Vögel, der Jahrgangsinszenierung des 3. Studienjahrs der Otto-Falckenberg-Schule.