Josef Vinklář se narodil 10. listopadu 1930 v Podlůší do rodiny zedníka. Od dětství žil v Praze na Smíchově. Vystudoval měšťanskou školu a v roce 1945 absolvoval jednoroční učební kurs. V této době se začal věnovat umělecké a herecké činnosti.

Vystupoval v Dismanově rozhlasovém souboru (1945), Divadle satiry (1945 – 1946), Divadle V + W (1946 – 1948), pardubickém Východočeském divadle (1948 – 1950), Realistickém divadle Zdeňka Nejedlého (1. 8. 1950 – 31. 7. 1983; kromě vojenské prezentační služby v letech 1951 – 1953) a Národním divadle v Praze (1. 8. 1983 – 18. 9. 2007), kde hostoval (1981 a 1983) ještě za svého působení v Realistickém divadle a ve kterém hrál až do své smrti.