Stockhaus absolvierte von 1994 bis 1998 seine Schauspielausbildung Ausbildung an der Westfälischen Schauspielschule in Bochum. Danach arbeitete er schwerpunktmäßig als Theaterschauspieler. Stockhaus spielte auf der Theaterbühne ein breites Repertoire, das die Stücke der Antike, Dramen von William Shakespeare, die deutschsprachigen Autoren der Klassik und Romantik, aber auch Stücke der Jahrhundertwende, der Moderne und des zeitgenössischen Theaters umfasste.

Stockhaus spielte seit Ende der 1990er Jahre auch mehrere Fernseh- und Filmrollen. Der Schwerpunkt seiner künstlerischen Tätigkeit ist jedoch weiterhin die Theaterarbeit. Er wirkte zunächst in einigen Kurzfilmen mit. In dem mehrfach ausgezeichneten Debüt-Film Be My Baby.

In der ZDF-Serie Sibel & Max verkörperte Stockhaus in der Folge Andere Umstände (Erstausstrahlung: Januar 2015), die Rolle Georg Hansen, einen aggressiven Ehemann und zukünftigen Vater, der gegenüber seiner schwangeren Frau gewalttätig wird. Seit 2015 spielt Stockhaus in der humoristischen ZDF-Krimireihe Friesland den Bestatter Wolfgang Habedank.