Zum Schauspieler ausbilden ließ sich Oest an der Hamburger Schule für Schauspiel. Anschließend spielte er am Badischen Staatstheater Karlsruhe sowie bei den Ruhrfestspielen Recklinghausen. Oest war Theaterschauspieler, wirkte aber auch in zahlreichen Filmen und TV-Serien mit. Seine Karriere begann er am Theater am Neumarkt Zürich. Später wirkte er am Grillo-Theater Essen und am Schauspielhaus Bochum sowie bei den Salzburger Festspielen. Von 1986 bis 1999 und wieder seit 2002 war er Ensemblemitglied des Burgtheaters, wo er in 68 Inszenierungen in unzähligen Rollen mitwirkte und unter anderem mit Claus Peymann, Andrea Breth, Luc Bondy, Manfred Karge, Michael Thalheimer und Herbert Fritsch arbeitete. Zu seinem 70. Geburtstag wurde er zum Kammerschauspieler ernannt.

Johann Adam Oest lebte zuletzt in Wien, wo er Ende April 2019 im Alter von 72 Jahren nach langer schwerer Krankheit starb.

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